Двугранный угол. Полный иллюстрированный гид (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В планиметрии основными объектами являются прямые, отрезки, лучи и точки. Лучи исходящие из одной точки, образуют одну их геометрических фигур-угол.

Мы знаем, что линейный угол измеряется в градусах и радианах.

В стереометрии к объектам добавляется плоскость. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости - это грани двугранного угла. Прямая а - это ребро двугранного угла.

Двухгранный угол как и линейный угол можно назвать, измерить, построить. Это и предстоит нам выяснить в этом уроке.

Найдём двухгранный угол на модели тетраэдра АВСD.

Двугранный угол с ребром АВ называют CABD, где С и D точки принадлежащие разным граням угла а ребро АВ называют в середине

Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла.

Во многих городах в парках установлены специальные скамейки для примирения. Скамейка выполнена в виде двух сходящихся к центру наклонных плоскостей.

При строительстве домов часто используется так называемая двухскатная крыша. На этом доме крыша выполнена в виде двухгранного угла в 90 градусов.

Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах, но как его измерить.

Интересно заметить, что крыши домов лежат на стропилах. А обрешётка стропил образует два ската крыши под заданным углом.

Перенесем изображение на чертёж. На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.

Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.

Измерим угол АОВ.

Градусная мера данного двугранного угла равна шестидесяти градусам.

Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, важно знать, что все они равны.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО1, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О1В1 так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА1О1В1 как углы с сонаправленными сторонами.

Так двугранный угол характеризуется линейным углом, а линейные углы бывают острые, тупые и прямые. Рассмотрим модели двугранных углов.

Тупой угол, если его линейный угол от 90 до 180 градусов.

Прямой угол, если его линейный угол равен 90 градусов.

Острый угол, елси его линейный угол от 0 до 90 градусов.

Докажем одно из важных свойств линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла.

Пусть угол АОВ - линейный угол данного двугранного угла. По построению лучи АО и ОВ перпендикулярные прямой а.

Через две пересекающиеся прямые АО и ОВ проходит плоскость АОВ по теореме: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ.

Для решения задач важно уметь строить линейный угол заданного двухгранного угла. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ для тетраэдра АВСD.

Речь идет о двугранном угле, который образован, во-первых, ребром АВ, одной гранью АВD, второй гранью АВС.

Вот один из способов построения.

Проведем перпендикуляр из точки D к плоскости АВС, Отметим точку М основание перпендикуляра. Вспомним, что в тетраэдре основание перпендикуляра совпадает с центром вписанной окружности в основание тетраэдра.

Проведем наклонную из точки D перпендикулярно к ребру АВ, отметим точку N основание наклонной.

В треугольнике DMN отрезок NM будет проекций наклонной DN на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах ребро АВ будет перпендикулярно проекции NМ.

Значит cтороны угла DNM перпендикулярны к ребру АВ, значит построенный угол DNM искомый линейный угол.

Рассмотрим пример решения задачи на вычисление двугранного угла.

Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2 см, АB= 4см.

Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.

Проведем наклонную СМ перпендикулярно к ребру АВ, так как треугольник АСВ равнобедренный, то точка М совпадёт с серединой ребра АВ.

Прямая СD по условию перпендикулярна плоскости ADB, значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на плоскость АDВ.

Прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ по построению, значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна проекции MD.

Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.

Так отрезок СМ медиана и высота равнобедренного треугольника АСВ, то по теореме Пифагора катет СМ равен 4 см.

Из прямоугольного треугольника DMB по теореме Пифагора катет DM равен двум корням из трёх.

Косинус угла из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и равен три корня из трёх на два. Значит угол СМD равен 30 градусам.

Понятие двугранного угла

Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.

Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).

Рисунок 1.

На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.

Определение 1

Фигура называется двугранным углом , если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.

При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями , а прямая, разделяющая полуплоскости -- ребром двугранного угла (рис. 1).

Рисунок 2. Двугранный угол

Градусная мера двугранного угла

Определение 2

Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).

Рисунок 3.

Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.

Теорема 1

Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1{OB}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как лучи $OA$ и ${OA}_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и ${OB}_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно

\[\angle AOB=\angle A_1{OB}_1\]

В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.

Теорема доказана.

Определение 3

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.

Примеры задач

Пример 1

Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ -- перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Рисунок 5.

Для доказательства вспомним следующую теорему

Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.

Так как $AC$ - перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ - проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ -- проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.

Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.

Пример 2

Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.

Решение.

Будем рассматривать рисунок 5.

По условию, имеем $AC=4\ см$.

По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла

\[\frac{AC}{AB}=sin{30}^0\] \[\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\] \

Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур - двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча - ОВ и ОА .

Определение . Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

рад.

Получаем, рад. (). Тогда,

Определение . Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница - а . Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β - это грани двугранного угла.

Прямая а - это ребро двугранного угла.

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а . Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а . Получили угол АОВ , который называется линейным углом двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О 1 на прямой а . Построим линейный угол соответствующий точке О , т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а . Получаем угол АОВ - линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О 1 проведем два перпендикуляра ОА 1 и ОВ 1 к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А 1 О 1 В 1 .

Лучи О 1 А 1 и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а .

Аналогично, лучи О 1 В 1 и ОВ сонаправлены, значит, ∠ АОВ = ∠ А 1 О 1 В 1 как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать : а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство :

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ , значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ , что и требовалось доказать.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7. Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

АВС D - тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ .

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение :

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВ D и АВС (рис. 9).

Проведем прямую D Н перпендикулярно плоскости АВС , Н - основание перпендикуляра. Проведем наклонную D М перпендикулярно прямой АВ, М - основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ .

То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВ D и АВС . Мы получили линейный угол D МН .

Заметим, что АВ , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости D МН . Задача решена.

Замечание . Двугранный угол можно обозначить следующим образом: D АВС , где

АВ - ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС .

Проведем перпендикуляр D Н к плоскости АВС и наклонную D N перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN - проекция наклонной D N на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС. D NН - линейный угол двугранного угла с ребром АС .

В тетраэдре D АВС все ребра равны. Точка М - середина ребра АС . Докажите, что угол D МВ - линейный угол двугранного угла ВАС D , т. е. двугранного угла с ребром АС . Одна его грань - АС D , вторая - АСВ (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение :

Треугольник ADC - равносторонний, DM - медиана, а значит и высота. Значит, D М ⊥ АС. Аналогично, треугольник A В C - равносторонний, В M - медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, ∠DM В - линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

Список литературы по теме "Двугранный угол", "Двугранный угол при основании геометрических фигур"

Геометрия. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 2008. - 233 с.: ил.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Домашнее задание по теме "Двугранный угол", определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВС D - тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) В D б) D С.

АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Постройте линейный угол двугранного угла А 1 АВС с ребром АВ . Определите его градусную меру.

В геометрии для изучения фигур используют две важные характеристики: длины сторон и углы между ними. В случае пространственных фигур к этим характеристиками добавляются двугранные углы. Рассмотрим, что это такое, а также опишем методику определения этих углов на примере пирамиды.

Понятие о двугранном угле

Каждый знает, что две пересекающиеся прямые образуют некоторый угол с вершиной в точке их пересечения. Этот угол можно измерить с помощью транспортира или воспользоваться тригонометрическими функциями для его вычисления. Образованный двумя прямыми угол называется линейным.

Теперь представим, что в трехмерном пространстве имеется две плоскости, которые пересекаются по прямой. Они изображена на рисунке.

Двугранным углом называется угол между двумя пересекающимися плоскостями. Так же как и линейный, он измеряется в градусах или радианах. Если к какой-либо точке прямой, по которой плоскости пересекаются, восстановить два перпендикуляра, лежащих в этих плоскостях, то угол между ними будет искомым двугранным. Определить этот угол проще всего, если воспользоваться уравнениями плоскостей в общем виде.

Уравнение плоскостей и формула для угла между ними

Уравнение любой плоскости в пространстве в общем виде записывается так:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Здесь x, y, z - это координаты точек, принадлежащих плоскости, коэффициенты A, B, C, D - некоторые известные числа. Удобство этого равенства для вычисления двугранных углов заключается в том, что оно в явном виде содержит координаты направляющего вектора плоскости. Будем обозначать его n¯. Тогда:

Вектор n¯ перпендикулярен плоскости. Угол между двумя плоскостями равен углу между их n 1 ¯ и n 2 ¯. Из математики известно, что угол, образованный двумя векторами, однозначно определяется из их скалярного произведения. Это позволяет записать формулу для вычисления двугранного угла между двумя плоскостями:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Если подставить координаты векторов, то формула запишется в явном виде:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Знак модуля в числителе используется, чтобы определить только острый угол, поскольку двугранный угол всегда меньше или равен 90 o .

Пирамида и ее углы

Пирамидой называют фигуру, которая образована одним n-угольником и n треугольниками. Здесь n - целое число, равное количеству сторон многоугольника, который является основанием пирамиды. Данная пространственная фигура является многогранником или полиэдром, поскольку она состоит из плоских граней (сторон).

Многогранника-пирамиды могут быть двух типов:

между основанием и боковой стороной (треугольником);
между двумя боковыми сторонами.

Если рассматривается пирамида правильная, то названные углы для нее определить несложно. Для этого по координатам трех известных точек следует составить уравнение плоскостей, а затем воспользоваться приведенной в пункте выше формулой для угла φ.

Ниже приведем пример, в котором покажем, как найти двугранные углы при основании пирамиды четырехугольной правильной.

Четырехугольная и угол при ее основании

Предположим, что дана правильная пирамида с квадратным основанием. Длина стороны квадрата равна a, высота фигура составляет h. Найдем угол между основанием пирамиды и ее боковой стороной.

Поместим начало координатной системы в центр квадрата. Тогда координаты точек A, B, C, D, показанных на рисунке, будут равны:

A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);

Рассмотрим плоскости ACB и ADB. Очевидно, что направляющий вектор n 1 ¯ для плоскости ACB будет равен:

Для определения направляющего вектора n 2 ¯ плоскости ADB поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, которые ей принадлежат, например, AD¯ и AB¯, затем, вычислим их векторное произведение. Его результат даст координаты n 2 ¯. Имеем:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Поскольку умножение и деление вектора на число не изменяет его направления, то преобразуем полученный n 2 ¯, разделив его координаты на -a, получим:

Мы определили направляющие вектора n 1 ¯ и n 2 ¯ для плоскостей основания ACB и боковой стороны ADB. Остается воспользоваться формулой для угла φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Преобразуем полученное выражение и перезапишем его так:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

Мы получили формулу для двугранного угла при основании для правильной четырехугольной пирамиды. Зная высоту фигуры и длину ее стороны, можно рассчитать угол φ. Например, для пирамиды Хеопса, сторона основания которой составляет 230,4 метра, а начальная высота равнялась 146,5 метра, угол φ будет равен 51,8 o .

Определить двугранный угол для четырехугольной правильной пирамиды также можно с помощью геометрического метода. Для этого достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, половиной длины основания a/2 и апофемой равнобедренного треугольника.