Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель Умножение. множитель * множитель = произведение

Множество натуральных чисел = {1, 2, 3…}. То есть, множество натуральных чисел – это множество всех целых положительных чисел. Над натуральными числами определены операции сложения, умножения, вычитания и деления. Результатом сложения, умножения и вычитания двух натуральных чисел является целое число. А результатом деления двух натуральных чисел может быть, как целое, так и дробное число.

Например: 20: 4 = 5 – результат деления – целое число.
20: 3 = 6 2/3 – результат деления – дробное число.
Говорят, что натуральное число n делится на натуральное число m , если результатом деления является целое число. При этом число m называют делителем числа n, а число n называют кратным числа m.

В первом примере число 20 делится на 4, 4 является делителем числа 20 , число 20 является кратным числа 4.
Во втором примере число 20 не делится на число 3, соответственно, не может быть и речи о делителях и кратных.

Число n называется простым, если у него нет делителей, кроме него самого и единицы. Примеры простых чисел: 2, 7, 11, 97 и т. д.
Число n называется составным, если у него есть делители, отличные от него самого и единицы.

Любое натуральное число можно разложить в произведение простых, причем это разложение единственно, с точностью до порядка множителей. Например: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 – все эти разложения отличаются только порядком множителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел m и n называется наибольшее натуральное число, являющееся делителем и числа m , и делителем числа n. Например, у чисел 34 и 85 наибольшим общим делителем является число 17.

Наименьшим общим кратным двух чисел m и n называется наименьшее натуральное число, кратное и числу m , и числу n. Например, у чисел 15 и 4 наименьшим общим кратным будет число 60.

Натуральное число, делясь на два простых числа, делится и на их произведение. Например, если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6 = 2 3, если на 11 и на 7, то и на 77.

Пример: число 6930 делится на 11 - 6930: 11 = 630 , и делится на 7 - 6930: 7 = 990. Можно смело утверждать, что это число делится и на 77. Проверим: 6930: 77 = 90.

Алгоритм разложения числа n на простые множители:

1. Находим наименьший простой делитель числа n (отличный от 1) - a1.
2. Делим число n на a1, частное обозначим n1.
3. n=a1 n1.
4. Проделываем ту же операцию с n1 до тех пор, пока не получим простое число.

Пример: Разложить число 17 136 на простые множители

1. Наименьший простой делитель, отличный от 1, здесь 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. Наименьший простой делитель числа 8 568 – 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. Наименьший простой делитель числа 4284 – 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. Наименьший простой делитель числа 2142 – 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. Наименьший простой делитель числа 1071 – 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. Наименьший простой делитель числа 357 – 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. Наименьший простой делитель числа 119 – 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 – простое число, значит 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

Мы получили разложение числа 17 136 на простые множители.

Общим кратным натуральных чисел a и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.

Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел .

Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а , b ).

Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 - наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12, 18) = 36.

Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:

1. Наименьшее общее кратное чисел а и b

2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b , то К(а , b ) ≥ а .

3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.

Наибольший общий делитель

Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел .

Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а , b ).

Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.

Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел a и b . Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(а , b ) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми .

Например, числа 14 и 15 - взаимно простые, так как D(14, 15) = 1.

Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:

1. Наибольший общий делитель чисел a и b всегда существует и является единственным.

2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если a < b , то D (a , b ) ≤ a.

3. Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель этих чисел.

Наибольшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. K(a , b )·D(a , b ) = a ·b .

Из этого утверждения вытекают следствия:

а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т.е. D(a , b ) = 1 => K(a , b ) = a ·b ;

Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно из перемножить, так как D(14, 15) = 1.

б) а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n , необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m , и на n .

Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.

в) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, являются взаимно простыми числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, D(24, 36)=12.

Задача 32. Сформулировать и доказать признак делимости на 6.

Решение x делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Пусть число x делится на 6. Тогда из того, что x 6 и 62, следует, что x 2. А из того, что x 6 и 63, следует что x 3. Мы доказали, что, для того чтобы число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Покажем достаточность этого условия. Так как x 2 и x 3, то x - общее кратное чисел 2 и 3. Любое общее кратное чисел делится на их наименьшее кратное, значит x K(2;3).

Поскольку D(2, 3)=1, то K(2, 3)=2·3=6. Следовательно, x 6.

Задача 33. Сформулировать на 12, 15 и 60.

Решение . Для того чтобы натуральное число x делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Для того чтобы натуральное число x делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.

Задача 34. Найти числа a и b , если K(a, b )=75, a ·b =375.

Решение. Используя формулу K(a,b )·D(a,b )=a ·b , находим наибольший общий делитель искомых чисел а и b :

D(a , b ) === 5.

Тогда искомые числа можно представить в виде а = 5р , b = 5q , где p и q p и 5q в равенство a·b= 275. Получим 5p ·5q =375 или p ·q =15. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 15. Таких пар две: (3, 5) и (1, 15). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 15 и 25 или 5 и 75.

Задача 35. Найти числа а и b , если известно, что D(a , b ) = 7 и a · b = 1470.

Решение . Так как D(a , b ) = 7, то искомые числа можно представить в виде а = 7р , b = 7q , где p и q - взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство a·b = 1470. Тогда 7p ·7q = 1470 или p ·q = 30. Полученное уравнение с двумя переменными решаем подбором: находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 30. Таких пар четыре: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 7 и 210, 14 и 105, 21 и 70, 35 и 42.

Задача 36. Найти числа а и b , если известно, что D(a , b ) = 3 и а :b = 17:14.

Решение . Так как a :b = 17:14, то а = 17р и b = 14p , где р - наибольший общий делитель чисел а и b . Следовательно, а = 17·3 = 51, b = 14·3 = 42.

Задача 37. Найти числа а и b , если известно, что K(a , b ) = 180, a :b = 4:5.

Решение . Так как a : b =4: 5, то а =4р и b =5р , где р - наибольший общий делитель чисел a и b . Тогда р ·180=4р ·5р . Откуда р =9. Следовательно, а= 36 и b =45.

Задача 38. Найти числа а и b , если известно, что D(a,b )=5, K(a,b )=105.

Решение . Так как D(a, b ) · K(a, b ) = a ·b , то a ·b = 5·105 = 525. Кроме того, искомые числа можно представить в виде а = 5р и b = 5q , где p и q - взаимно простые числа. Подставим выражения 5р и 5q в равенство а ·b = 525. Тогда 5p ·5q =525 или p ·q =21. Находим пары взаимно простых чисел, произведение которых равно 21. Таких пар две: (1, 21) и (3, 7). Следовательно, искомые числа а и b таковы: 5 и 105, 15 и 35.

Задача 39. Докажите, что число n (2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n .

Решение . Число 6 составное, его можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел: 6 = 2·3. Если мы докажем, что данное число делится на 2 и на 3, то на основании признака делимости на составное число можно будет заключить, что оно делится на 6.

Чтобы доказать, что число n (2n + 1)(7n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 2k (4k + 1)(14k + 1). Это произведение делится на 2, т.к. первый множитель делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение n (2n + 1 )(7n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)(4k + 3)(14k + 8). Это произведение делится на 2, т.к. последний множитель делится на 2.

Чтобы доказать, что произведение n (2n + 1)(7n + 1) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: 3k (6k + 1)(21k + 1). Это произведение делится на 3, т.к. первый множитель делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. n = 3k + 1. Тогда произведение n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 1)(6k + 3)(21k + 8). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n (2n + 1)(7n + 1) будет иметь вид: (3k + 2)(6k + 5)(21k + 15). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель делится на 3.

Итак, доказано, что произведение n (2n + 1)(7n + 1) делится на 2 и на 3. Значит, оно делится на 6.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Даны два числа: 50 и 75. Запишите множество:

а) делителей числа 50; б) делителей числа 75; в) общих делителей данных чисел.

Каков наибольший общий делитель чисел 50 и 75?

2. Является ли число 375 общим кратным чисел: а) 125 и 75; б) 85 и 15?

3. Найти числа а и b , если известно, что K(a, b ) = 105, a ·b = 525.

4. Найти числа а и b , если известно, что D(a , b ) = 7, a ·b = 294.

5. Найти числа а и b , если известно, что D(a, b ) = 5, a :b = 13:8.

6. Найти числа а и b , если известно, что K(a, b ) = 224, a :b = 7:8.

7. Найти числа a и b , если известно, что D(a, b ) = 3, K(a ; b ) = 915.

8. Докажите признак делимости на 15.

9. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

10. Сформулируйте признаки делимости на 18, 36, 45, 75.

Ключевые слова конспекта: Натуральные числа. Арифметические действия над натуральными числами. Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Наибольший общий делитель (НОД), а также наименьшее общее кратное (НОК). Деление с остатком.

Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов - 1, 2, 3, 4 , … Но число 0 не является натуральным!

Множество натуральных чисел обозначают N . Запись «3 ∈ N» означает, что число три принадлежит множеству натуральных чисел, а запись «0 ∉ N» означает, что число нуль не принадлежит этому множеству.

Десятичная система счисления - позиционная система счисления по основанию 10 .

Арифметические действия над натуральными числами

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Первые четыре действия являются арифметическими .

Пусть a, b и c - натуральные числа, тогда

1. СЛОЖЕНИЕ. Слагаемое + Слагаемое = Сумма

Свойства сложения
1. Переместительное а + b = b + а.
2. Сочетательное а + (b + с) = (а + Ь) + с.
3. а + 0= 0 + а = а.

2. ВЫЧИТАНИЕ. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность

Свойства вычитания
1. Вычитание суммы из числа а — (b + с) = а — b — с.
2. Вычитание числа из суммы (а + b) — с = а + (b — с); (а + b) — с = (а — с) + b.
3. а — 0 = а.
4. а — а = 0.

3. УМНОЖЕНИЕ. Множитель * Множитель = Произведение

Свойства умножения
1. Переместительное а*b = b*а.
2. Сочетательное а*(b*с) = (а*b)*с.
3. 1 * а = а * 1 = а.
4. 0 * а = а * 0 = 0.
5. Распределительное (а + b) * с = ас + bс; (а — b) * с = ас — bс.

4. ДЕЛЕНИЕ. Делимое: Делитель = Частное

Свойства деления
1. а: 1 = а.
2. а: а = 1. Делить на ноль нельзя!
3. 0: а= 0.

Порядок действий

1. Прежде всего действия в скобках.
2. Потом умножение, деление.
3. И только в конце сложение, вычитание.

Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа.

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым , если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, числа 2, 3, 11, 23 - простые числа.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным . Например, числа 4, 8, 15, 27 - составные числа.

Признак делимости произведения нескольких чисел: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Произведение 24 15 77 делится на 12 , поскольку множитель этого числа 24 делится на 12 .

Признак делимости суммы (разности) чисел: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Если а: b и c: b , то (а + c) : b . А если а: b , а c не делится на b , то a + c не делится на число b .

Если а: c и c: b , то а: b . Исходя из того, что 72:24 и 24:12, делаем вывод, что 72:12.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители .

Основная теорема арифметики : любое натуральное число (кроме 1 ) либо является простым , либо его можно разложить на простые множители только одним способом.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком» В таком случае делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, задание: разложить на простые множители число 330 . Решение:

Признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 и 11.

Существуют признаки делимости на 6, 15, 45 и т. д., то есть на числа, произведение которых можно разложить на множители 2, 3, 5, 9 и 10 .

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД ). Например, НОД (10; 25) = 5; а НОД (18; 24) = 6; НОД (7; 21) = 1.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1 , то эти числа называются взаимно простыми .

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

НОД часто используется в задачах. Например, между учениками одного класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько учеников в этом классе?

Решение: Нахождение количества учащихся этого класса сводится к нахождению наибольшего общего делителя чисел 155 и 62, поскольку тетради и ручки поделили поровну. 155 = 5 31; 62 = 2 31. НОД (155; 62) = 31 .

Ответ: 31 ученик в классе.

Наименьшее общее кратное

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка. Например, число 8 имеет кратные: 8, 16, 24, 32 , … Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшее общее кратное (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК ):

НОК также часто применяется в задачах. Например, два велосипедиста одновременно стартовали по велотреку в одном направлении. Один делает круг за 1 мин, а другой - за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они встретятся на старте?

Решение: Количество минут, через которое они снова встретятся на старте, должно делиться на 1 мин , а также на 45 с . В 1 мин = 60 с. То есть необходимо найти НОК (45; 60). 45 = 32 5; 60 = 22 3 5. НОК (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180 . В результате получается, что велосипедисты встретятся на старте через 180 с = 3 мин.

Ответ: 3 мин.

Деление с остатком

Если натуральное число а не делится нацело на натуральное число b , то можно выполнить деление с остатком . В таком случае полученное частное называется неполным . Справедливо равенство:

а = b n + r,

где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток. Например, пусть делимое равно 243 , делитель - 4 , тогда 243: 4 = 60 (остаток 3) . То есть а = 243, b = 4, n = 60, r = 3, тогда 243 = 60 4 + 3 .

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются четными : а = 2n , n ∈ N.

Остальные числа называются нечетными : b = 2n + 1 , n ∈ N.

Это конспект по теме «Натуральные числа. Признаки делимости» . Чтобы продолжить, выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: