Электрическая емкость конденсатора формула. Что такое электроемкость конденсатора

Рассмотрим два заряженных проводника. Предположим, что все силовые линии, начинающиеся на одном из них, заканчиваются на другом. Для этого, разумеется, они должны иметь равные и противоположные по знаку заряды. Такая система двух проводящих тел называется конденсатором.

Примеры конденсаторов. Примерами конденсаторов могут служить две концентрические проводящие сферы (сферический, или шаровой, конденсатор), две параллельные плоские проводящие пластины при условии, что расстояние между ними мало по сравнению с размерами пластин (плоский конденсатор), два коаксиальных проводящих цилиндра при условии, что их длина велика по сравнению с зазором между цилиндрами (цилиндрический конденсатор).

Два проводника, образующие конденсатор, называются его обкладками.

Рис. 41. Электрическое поле в сферическом, плоском и цилиндрическом конденсаторах

Во всех таких системах при сообщении обкладкам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов электрическое поле практически целиком заключено в пространстве между обкладками (рис. 41). Внешний вид некоторых используемых в технике конденсаторов показан на рис. 42.

Основная характеристика конденсатора - электроемкость или просто емкость С, определяемая как отношение заряда одной из

обкладок к разности потенциалов т. е. к напряжению, между ними:

Распределение зарядов на обкладках будет одинаковым независимо от того, большой или малый заряд им сообщен. Это значит, что напряженность поля, а следовательно, и разность потенциалов между обкладками, пропорциональны сообщенному конденсатору заряду. Поэтому емкость конденсатора не зависит от его заряда.

Рис. 42. Устройство, внешний вид и условные обозначения на электрических схемах некоторых конденсаторов

В вакууме емкость определяется исключительно геометрическими характеристиками конденсатора, т. е. формой, размерами и взаимным расположением обкладок.

Единицы емкости. В СИ за единицу электроемкости принят фарад Емкостью 1 Ф обладает конденсатор, между обкладками которого устанавливается напряжение 1 В при сообщении заряда 1 Кл:

В абсолютной электростатической системе единиц СГСЭ электроемкость имеет размерность длины и измеряется в сантиметрах:

На практике обычно приходится иметь дело с конденсаторами, емкость которых значительно меньше 1 Ф. Поэтому используются доли этой единицы - микрофарад (мкФ) и пикофарад . Соотношение между фарадом и сантиметром легко установить, учитывая, что

Электроемкость и геометрия конденсатора. Зависимость емкости конденсатора от его геометрических характеристик легко проиллюстрировать простыми опытами. Воспользуемся для этого электрометром, подключенным к двум плоским пластинам, расстояние между которыми можно изменять (рис. 43). Чтобы заряды пластин были одинаковы и все поле было сосредоточено только между ними, следует заземлить вторую пластину и корпус электрометра. Отклонение стрелки электрометра пропорционально напряжению между обкладками. Если сдвигать или раздвигать пластины конденсатора, то при неизменном заряде напряжение будет соответственно уменьшаться или увеличиваться: емкость тем больше, чем меньше расстояние между пластинами. Аналогично можно убедиться в том, что емкость конденсатора тем больше, чем больше площадь его пластин. Для этого можно просто сдвигать пластины при неизменном зазоре между ними.

Рис. 43. Емкость конденсатора зависит от расстояния между пластинами

Емкость плоского конденсатора. Получим формулу для емкости плоского конденсатора. Поле между его обкладками однородно за исключением небольшой области вблизи краев пластин. Поэтому напряжение между обкладками равно произведению напряженности поля Е на расстоянии между ними: Для нахождения напряженности поля Е можно воспользоваться формулой (1) § 6, которая связывает Е вблизи поверхности проводника с поверхностной плотностью зарядов с: Выразим а через заряд конденсатора и площадь пластины, считая распределение заряда равномерным, что согласуется с используемым предположением об однородности поля: Подставляя приведенные соотношения в общее определение емкости (1), находим

В СИ, где емкость плоского конденсатора имеет вид

В системе единиц СГСЭ k = 1 и

Емкость сферического конденсатора. Совершенно аналогично можно вывести формулу для емкости сферического конденсатора, рассматривая электрическое поле в промежутке между двумя заряженными концентрическими сферами радиусов Напряженность поля там такая же, как в случае уединенного заряженного шара радиуса Поэтому для напряжения между обкладками радиусов справедливо

Выражение для емкости получаем, подставляя в формулу (1):

Емкость уединенного проводника. Иногда вводят понятие емкости уединенного проводника, рассматривая предельный случай конденсатора, одна из обкладок которого удалена на бесконечность. В частности, емкость уединенного проводящего шара получается из (5) в результате предельного перехода что соответствует неограниченному увеличению радиуса внешней обкладки при неизменном радиусе внутренней

В системе единиц СГСЭ, где емкость уединенного шара равна его радиусу. Если проводник имеет несферическую форму, его емкость по порядку величины равна характерному линейному размеру, хотя, конечно же, зависит и от его формы. В отличие от уединенного проводника, емкость конденсатора гораздо больше его линейных размеров. Например, у плоского конденсатора характерный линейный размер равен причем Как видно из формулы (4), при этом

Конденсатор с диэлектриком. В рассмотренных выше примерах конденсаторов пространство между обкладками считалось пустым. Тем не менее полученные выражения для емкости справедливы и тогда, когда это пространство заполнено воздухом, как это было в описанных простых опытах. Если пространство между обкладками заполнить каким-либо диэлектриком, емкость конденсатора увеличивается. В этом легко убедиться на опыте, вдвигая диэлектрическую пластину в промежуток между обкладками заряженного конденсатора, подключенного к электрометру (рис. 43). При неизменном заряде конденсатора напряжение между обкладками уменьшается, что свидетельствует о возрастании емкости.

Уменьшение разности потенциалов между обкладками при внесении туда диэлектрической пластины свидетельствует о том, что напряженность электрического поля в зазоре становится меньше. Это уменьшение зависит от того, какой именно диэлектрик используется в опыте.

Диэлектрическая проницаемость. Для характеристики электрических свойств диэлектрика вводят физическую величину, называемую диэлектрической проницаемостью. Диэлектрическая проницаемость - это безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряженность электрического поля в заполненном диэлектриком конденсаторе (или напряжение между его обкладками) меньше, чем в отсутствие диэлектрика при том же заряде конденсатора. Другими словами, диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком. Например, емкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком с проницаемостью равна

Приведенное здесь определение диэлектрической проницаемости соответствует феноменологическому подходу, при котором рассматриваются только макроскопические свойства вещества в электрическом поле. Микроскопический подход, основанный на рассмотрении поляризации атомов или молекул, из которых состоит вещество, предполагает исследование какой-либо конкретной модели и позволяет не только подробно описывать электрические и магнитные поля внутри вещества, но и понять, как протекают макроскопические электрические и магнитные явления в веществе. На этом этапе мы ограничиваемся только феноменологическим подходом.

Рис. 44. Параллельное соединение конденсаторов

У твердых диэлектриков значение лежит в пределах от 4 до 7, а у жидких - от 2 до 81. Такой аномально большой диэлектрической проницаемостью обладает обыкновенная чистая вода. Кроме воздушного конденсатора переменной емкости (см. рис. 42), используемого для настройки радиоприемников, все другие применяемые в технике конденсаторы заполнены диэлектриком.

Батареи конденсаторов. При использовании конденсаторов их иногда соединяют в батареи. При параллельном соединении (рис. 44) напряжения на конденсаторах одинаковы, а полный заряд батареи равен сумме зарядов конденсаторов для каждого из которых, очевидно, справедливо Рассматривая батарею как один

конденсатор, имеем

С другой стороны,

Сравнивая (8) и (9), получаем, что емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:

Рис. 45. Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении предварительно незаряженных конденсаторов (рис. 45) заряды на всех конденсаторах одинаковы, а полное напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

С другой стороны, рассматривая батарею как один конденсатор, имеем

Сравнивая (11) и (12), видим, что при последовательном соединении конденсаторов складываются обратные емкостям величины:

При последовательном соединении емкость батареи меньше самой малой из емкостей соединенных конденсаторов.

В каком случае два проводящих тела образуют конденсатор?

Что называется зарядом конденсатора?

Как установить связь между единицами емкости СИ и СГСЭ?

Объясните качественно, почему емкость конденсатора увеличивается при уменьшении зазора между обкладками.

Получите формулу для емкости плоского конденсатора, рассматривая электрическое поле в нем как суперпозицию полей, создаваемых двумя плоскостями, заряженными разноименно.

Получите формулу для емкости плоского конденсатора, рассматривая его как предельный случай сферического конденсатора, у которого стремятся к бесконечности так, что разность остается постоянной.

Почему нельзя говорить о емкости уединенной бесконечной плоской пластины или отдельного бесконечно длинного цилиндра?

Охарактеризуйте кратко различие между феноменологическим и микроскопическим подходами при исследовании свойств вещества в электрическом поле.

Каков смысл диэлектрической проницаемости вещества?

Почему при расчете емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов оговаривалось условие, чтобы они предварительно не были заряжены?

В чем смысл последовательного соединения конденсаторов, если оно приводит лишь к уменьшению емкости?

Поле внутри и вне конденсатора. Чтобы подчеркнуть различие между тем, что называют зарядом конденсатора, и полным зарядом обкладок, рассмотрим следующий пример. Пусть наружная обкладка сферического конденсатора заземлена, а внутренней сообщен заряд д. Весь этот заряд равномерно распределится по внешней поверхности внутренней обкладки. Тогда на внутренней поверхности наружной сферы индуцируется заряд , следовательно, заряд конденсатора равен . А что будет на внешней поверхности наружной сферы? Это зависит от того, что окружает конденсатор. Пусть, например, на расстоянии от поверхности внешней сферы находится точечный заряд (рис. 46). Этот заряд никак не повлияет на электрическое состояние внутреннего пространства конденсатора, т. е. на поле между его обкладками. В самом деле, внутреннее и внешнее пространства разделены толщей металла наружной обкладки, в которой электрическое поле равно нулю.

Рис. 46. Сферический конденсатор во внешнем электрическом поле

Заряд на внешней поверхности обкладки. Но характер поля во внешнем пространстве и заряд, индуцированный на наружной поверхности внешней сферы, зависят от величины и положения заряда Это поле будет точно таким же, как и в случае, коща заряд находится на расстоянии от поверхности сплошного заземленного металлического шара, радиус которого равен радиусу внешней сферы конденсатора (рис. 47). Таким же будет и индуцированный заряд.

Для нахождения величины индуцированного заряда будем рассуждать следующим образом. Электрическое поле в любой точке пространства создается зарядом и зарядом, индуцированным

на поверхности шара, который распределен там, разумеется, неравномерно - как раз так, чтобы обратилась в нуль результирующая напряженность поля внутри шара. Согласно принципу суперпозиции потенциал в любой точке можно искать в виде суммы потенциалов полей, создаваемых точечным зарядом и точечными зарядами, на которые можно разбить распределенный по поверхности шара индуцированный заряд. Поскольку все элементарные заряды на которые разбит индуцированный на поверхности шара заряд находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, то потенциал создаваемого им поля в центре шара будет равен

Рис. 47. Поле точечного заряда вблизи заземленного проводящего шара

Тогда полный потенциал в центре заземленного шара равен

Знак минус отражает тот факт, что индуцированный заряд всегда противоположного знака.

Итак, мы видим, что заряд на наружной поверхности внешней сферы конденсатора определяется тем окружением, в котором находится конденсатор, и не имеет никакого отношения к заряду конденсатора д. Полный заряд внешней обкладки конденсатора, разумеется, равен сумме зарядов ее внешней и внутренней поверхностей, однако заряд конденсатора определяется только зарядом внутренней поверхности этой обкладки, который связан силовыми линиями поля с зарядом внутренней обкладки.

В разобранном примере независимость электрического поля в пространстве между обкладками конденсатора и, следовательно, его емкости от внешних тел (как заряженных, так и незаряженных) обусловлена электростатической защитой, т. е. толщей металла внешней обкладки. К чему может привести отсутствие такой защиты, можно увидеть на следующем примере.

Плоский конденсатор с экраном. Рассмотрим плоский конденсатор в виде двух параллельных металлических пластин, электрическое поле которого практически целиком сосредоточено в пространстве между пластинами. Заключим конденсатор в незаряженную плоскую металлическую коробку, как показано на рис. 48. На первый взгляд может показаться, что картина поля между обкладками конденсатора не изменится, так как все поле сосредоточено между пластинами, а краевым эффектом мы пренебрегаем. Однако легко видеть, что это не так. Снаружи конденсатора напряженность поля равна нулю, поэтому во всех точках слева от конденсатора потенциал одинаков и совпадает с потенциалом левой пластины. Точно так же потенциал любой точки справа от конденсатора совпадает с потенциалом правой пластины (рис. 49). Поэтому, заключая конденсатор в металлическую коробку, мы соединяем проводником точки, имеющие разный потенциал.

В результате в металлической коробке будет происходить перераспределение зарядов до тех пор, пока не выравняются потенциалы всех ее точек. На внутренней поверхности коробки индуцируются заряды, и появится электрическое поле внутри коробки, т. е. снаружи конденсатора (рис. 50).

Рис. 48. Конденсатор в металлической коробке

Рис. 49. Электрическое поле заряженного плоского конденсатора

Рис. 50. Электрическое поле заряженного конденсатора, помещенного в металлическую коробку

Но это означает, что на внешних поверхностях пластин конденсатора тоже появятся заряды. Так как при этом полный заряд изолированной пластины не меняется, то заряд на ее внешней поверхности может возникнуть только за счет перетекания заряда с внутренней поверхности. Но при изменении заряда на внутренних поверхностях обкладок изменится напряженность поля между пластинами конденсатора.

Таким образом, заключение рассмотренного конденсатора в металлическую коробку приводит к изменению электрического состояния внутреннего пространства.

Изменение зарядов пластин и электрического поля в этом примере может быть легко рассчитано. Обозначим заряд изолированного конденсатора через Заряд, перетекающий на наружные поверхности пластин при надевании коробки, обозначим через Такой же заряд противоположного знака будет индуцирован на внутренних поверхностях коробки. На внутренних поверхностях пластин конденсатора останется заряд Тогда в пространстве между пластинами напряженность однородного поля будет равна в единицах СИ, а вне конденсатора поле направлено в противоположную сторону и его напряженность равна где - площадь пластины. Требуя, чтобы разность потенциалов между противоположными стенками металлической коробки была равна нулю, и считая для простоты расстояния между всеми пластинами одинаковыми и равными то

Этот результат легко понять, если учесть, что после надевания коробки поле существует во всех трех промежутках между пластинами, т. е. фактически имеются три одинаковых конденсатора, эквивалентная схема включения которых показана на рис. 51. Вычисляя емкость получившейся системы конденсаторов, получаем .

Надетая на конденсатор металлическая коробка осуществляет электростатическую защиту системы. Теперь мы можем подносить снаружи к коробке любые заряженные или незаряженные тела и при этом электрическое поле внутри коробки не изменится. Значит, не изменится и емкость системы.

Обратим внимание на то, что в разобранном примере, выяснив все, что нас интересовало, мы тем не менее обошли стороной вопрос о том, какие же силы осуществили перераспределение зарядов. Какое электрическое поле вызвало движение электронов в материале проводящей коробки?

Очевидно, что это может быть только то неоднородное поле, которое выходит за пределы конденсатора вблизи краев пластины (см. рис. 39). Хотя напряженность этого поля мала и не принимается во внимание при расчете изменения емкости, именно она определяет суть рассматриваемого явления - перемещает заряды и этим вызывает изменение напряженности электрического поля внутри коробки.

Почему под зарядом конденсатора следует понимать не полный заряд обкладки, а только ту его часть, что находится на ее внутренней стороне. обращенной к другой обкладке?

В чем проявляется роль краевых эффектов при рассмотрении электростатических явлений в конденсаторе?

Как изменится емкость батареи конденсаторов, если замкнуть между собой обкладки одного из них?

Формула электроемкости следующая.

Измеряется эта величина в фарадах. Как правило, емкость элемента очень мала и измеряется в пикофарадах.

В задачах часто спрашивается, как изменится электроемкость конденсатора, если увеличить заряд или напряжение. Это вопрос с подвохом. Проведем другую аналогию.

Представьте, что речь идет про обычную банку, а не конденсатор. Например, у вас она трехлитровая. Аналогичный вопрос: что произойдет со вместимостью банки, если туда налить 4 литра воды? Разумеется, вода просто выльется, но при этом размеры банки никак не изменятся.

То же самое с конденсаторами. Заряд и напряжение никак не влияют на емкость. Этот параметр зависит только от реальных физических размеров.

Формула будет следующей

Только эти параметры влияют на реальную электроемкость конденсатора.

На любом конденсаторе есть маркировка с техническими параметрами.

Разобраться несложно. Достаточно минимальных знаний по электричеству.

Соединение конденсаторов

Конденсаторы, так же как и сопротивления, можно подключать последовательно и параллельно. Кроме этого, в схемах бывают и смешанные соединения.

Как видите, электроемкость конденсатора в обоих случаях считается по-разному. Это также относится к напряжению и заряду. По формулам видно, что электроемкость конденсатора, вернее, их совокупности в схеме, будет наибольшей при параллельном соединении. При последовательном общая емкость значительно уменьшается.

При подключении последовательно заряд размещается равномерно. Он будет везде одинаков - как суммарный, так и на каждом конденсаторе. А когда соединение параллельное, суммарный заряд складывается. Это важно помнить при решении задач.

Напряжение считается наоборот. При последовательном соединении складываем, а при параллельном оно равно везде.

Здесь приходится выбирать: если вам нужно больше напряжения, тогда жертвуем емкостью. Если емкость, то огромного напряжения не будет.

Виды конденсаторов

Существует огромное количество конденсаторов. Они отличаются как по размеру, так и по форме.

Разумеется, емкость вычисляется у всех по-разному.

Электроемкость плоского конденсатора

Электроемкость плоского конденсатора определяется проще всего. Эту формулу в основном все и помнят, в отличии от других.

Здесь всё зависит от физических параметров и среды между пластинами.

Здесь также большое значение имеет, какой диэлектрик или материал помещен внутрь. Так как деталь имеет размер сферы, ее емкость зависит от радиуса.

В случае с цилиндрической формой, кроме среды внутри, значение имеют радиусы и длина цилиндра.

Подумайте, как изменится электроемкость плоского конденсатора, если на нем будут повреждения? Существуют различные сбои, которые могут повлиять на работоспособность конденсаторов.

Например, они рассыхаются или вздуваются. После этого они становятся непригодными для нормальной работы устройства, куда установлены.

Рассмотрим примеры повреждений и выхода из строя конденсаторов. Вздуться могут все сразу.

Иногда из строя выходят только несколько. Такое бывает, когда конденсаторы разных параметров или качества.

Наглядный пример порчи (вздутие, разрыв и выход наружу содержимого).

Если вы увидите вот такие ленты, это крайняя степень повреждения. Хуже и быть не может.

Если вы заметите на устройстве (например на видеокарте в компьютере) такие вздутые конденсаторы, это повод задуматься о замене детали.

Подобные проблемы можно устранить только заменой на аналогичную деталь. У вас должны совпадать все параметры один в один. Иначе работа может быть некорректной или очень кратковременной.

Менять конденсаторы нужно аккуратно, не повредив платы. Выпаивать нужно быстро, не допуская перегрева. Если вы не умеете этого делать, лучше отнесите деталь в ремонт.

Основной причиной разрушения является перегрев, который возникает в случае старения или большого сопротивления в цепи.

Рекомендуется не затягивать с ремонтом. Поскольку у поврежденных конденсаторов изменяется емкость, устройство, где они расположены, будет работать с отклонением от нормы. И со временем это может стать причиной выхода из строя.

Если у вас на видеокарте вздулись конденсаторы, то их своевременная замена может исправить ситуацию. В противном случае может сгореть микросхема или что-то еще. В таком случае ремонт будет стоить очень дорого или вовсе окажется невозможным.

Меры предосторожности

Выше был приведен пример с банкой воды. Там говорилось, что если воды налить больше, то воды выльется. А теперь подумайте, куда могут "вылиться" электроны в конденсаторе? Ведь он запечатан полностью!

Если вы подадите в цепи больше тока, чем тот, на который рассчитан конденсатор, то как только он зарядится, его излишек попытается выйти куда-то. А пространства свободного нет. Результатом будет взрыв. В случае незначительного превышения заряда хлопок будет небольшой. Но если подать колоссальное количество электронов на конденсатор, его просто разорвет, и диэлектрик вытечет.

Будьте аккуратны!

Заряженный конденсатор обладает энергией. Проще всего выражение для этой энергии получить, рассматривая плоский конденсатор.

Энергия плоского конденсатора. Предположим, что пластины конденсатора, несущие равные и противоположные по знаку заряды, сначала расположены на расстоянии Затем одной из пластин мысленно дадим возможность перемещаться в направлении к другой пластине вплоть до полного их совмещения, коща заряды пластин компенсируются и конденсатор фактически исчезнет. При этом исчезает и энергия конденсатора, поэтому работа действующей на пластину электрической силы, совершаемая при ее перемещении, как раз и равна первоначальному запасу энергии конденсатора. Подсчитаем эту работу.

Сила, действующая на пластину, равна произведению ее заряда на напряженность однородного электрического поля, создаваемого другой пластиной. Эта напряженность, как мы видели в § 7, равна половине полной напряженности Е электрического поля внутри конденсатора, создаваемой зарядами обеих пластин. Поэтому искомая работа где - напряжение между

пластинами. Таким образом, выражение для энергии конденсатора через его заряд и напряжение имеет вид

Поскольку заряд конденсатора и напряжение связаны соотношением то формулу (1) можно переписать в эквивалентной форме так, чтобы энергия выражалась либо только через заряд либо только через напряжение

Энергия конденсатора. Эта формула справедлива для конденсатора любой формы. В этом можно убедиться, рассматривая работу, которую необходимо совершить для того, чтобы зарядить конденсатор, перенося заряд маленькими порциями с одной обкладки на другую. При вычислении этой работы следует учесть, что первая порция заряда переносится через нулевую разность потенциалов, последняя - через полную разность потенциалов а в каждый момент разность потенциалов пропорциональна уже перенесенному заряду.

Формулы (1) или (2) для энергии заряженного конденсатора можно, разумеется, получить как частный случай общей формулы (12) § 4, справедливой для энергии системы любых заряженных тел:

Энергию заряженного конденсатора можно трактовать не только как потенциальную энергию взаимодействия зарядов, но и как энергию создаваемого этими зарядами электрического поля, заключенного в пространстве между обкладками конденсатора. Обратимся опять для простоты к плоскому конденсатору, где электрическое поле однородно. Подставляя в выражение для энергии получаем

где - объем между обкладками конденсатора, заполненный электрическим полем.

Плотность энергии электрического поля. Энергия заряженного конденсатора оказывается пропорциональной занимаемому электрическим полем объему. Очевидно, что множитель, стоящий перед V в формуле (4), имеет смысл энергии, заключенной в единичном объеме, т. е. объемной плотности энергии электрического поля:

В СИ эта формула имеет вид

В системе единиц СГСЭ

Выражения для объемной плотности энергии справедливы при любой конфигурации электрического поля.

Энергия заряженного шара. Рассмотрим, например, энергию уединенного шара радиуса по поверхности которого равномерно распределен заряд . Такую систему можно рассматривать как предельный случай сферического конденсатора, радиус внешней обкладки которого стремится к бесконечности, а емкость принимает значение, равное радиусу шара (в системе единиц СГСЭ). Применяя для энергии формулу получаем

Если рассматривать эту энергию как энергию поля, создаваемого шаром, то можно считать, что вся она локализована в окружающем шар пространстве, а не внутри его, так как там напряженность поля Е равна нулю. Наибольшее значение объемная плотность имеет вблизи поверхности шара и очень быстро убывает при удалении от нее - как .

Собственная энергия точечного заряда. Таким образом, электростатическую энергию можно рассматривать либо как энергию взаимодействия зарядов, либо как энергию создаваемого этими зарядами поля.

Однако, рассматривая энергию двух разноименных точечных зарядов, мы приходим к противоречию. Согласно формуле (12) § 4 эта энергия отрицательна: а если ее рассматривать как энергию поля этих зарядов, то энергия получается положительной, так как плотность энергии поля, пропорциональная нигде не принимает отрицательных значений. В чем же здесь дело? Объясняется это тем, что в формуле (12) для энергии точечных зарядов учитывается лишь их взаимодействие, но не учитывается взаимодействие отдельных элементов каждого такого заряда между собой. Действительно, если мы имеем дело лишь с одним единственным точечным зарядом то энергия, вычисляемая по формуле (12), равна нулю, в то время как энергия электрического поля этого заряда имеет положительное (бесконечное для истинно точечного заряда) значение, равное так называемой собственной энергии заряда .

Чтобы убедиться в этом, обратимся к формуле (8) для энергии заряженного шара. Если устремить в ней к нулю, то мы и придем к точечному заряду. С уменьшением плотность энергии растет настолько быстро, что, как видно из (8), полная энергия поля оказывается бесконечно большой. В классической электродинамике собственная энергия точечного заряда бесконечна.

Собственная энергия произвольного заряда может рассматриваться как энергия взаимодействия его частей. Эта энергия зависит, конечно, от размеров и формы заряда. Часть ее освободилась бы при «взрыве» и разлете «осколков» заряда под действием кулоновских сил отталкивания, превратившись в кинетическую энергию «осколков», другая ее часть осталась бы в форме собственной энергии этих «осколков».

Рассмотрим теперь полную, т. е. собственную и взаимную, энергию двух зарядов Пусть каждый из этих зарядов в отдельности создает соответственно поле так что результирующее поле Объемная плотность энергии поля распадается на три слагаемых в соответствии с выражением

Первые два слагаемых в правой части соответствуют объемной плотности собственных энергий зарядов а третье слагаемое соответствует энергии взаимодействия зарядов друг с другом. Именно эта часть полной энергии системы и дается формулой (12) § 4. Из очевидного неравенства следует, что Таким образом, положительная собственная энергия зарядов всегда больше или в крайнем случае равна их взаимной энергии. Насмотря на то, что взаимная энергия может принимать как положительные, так и отрицательные значения, полная энергия, пропорциональная всегда положительна.

При всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих их формы и размеров, собственная энергия зарядов остается постоянной. Поэтому при таких перемещениях изменение полной энергии системы зарядов равно изменению их взаимной энергии. Так как во всех физических явлениях существенно именно изменение энергии системы, то постоянная часть - собственная энергия зарядов - может быть отброшена. В этом смысле и следует понимать утверждение об эквивалентности энергии взаимодействия зарядов и энергии создаваемого ими поля. Итак, мы можем сопоставлять системе зарядов либо полную энергию - энергию поля, либо энергию взаимодействия и будем получать при этом, вообще говоря, разные значения. Но, рассматривая переход системы из одного состояния в другое, мы для изменения энергии всегда получим одну и ту же величину.

Обратим внимание, что при использовании формулы (12) § 4 для системы точечных зарядов и проводников мы получаем, как видно

из самого вывода формулы, собственную энергию проводников и взаимную потенциальную энергию всех входящих в систему зарядов, т. е. полную энергию поля за вычетом неизменной собственной энергии точечных зарядов.

Собственная энергия проводника. Собственная энергия проводников, в отличие от собственной энергии точечных зарядов, не является постоянной. Она может измениться при изменении конфигурации системы вследствие перемещения зарядов в проводниках. Поэтому эта энергия не может быть отброшена при вычислении изменения энергии системы.

В том случае, когда система состоит только из проводников, а точечных зарядов нет, формула (12) §4 дает полную энергию системы, т. е. сумму собственных энергий всех проводников и энергии их взаимодействия. Мы получаем одно и то же значение независимо от того, рассматриваем ли энергию поля или энергию системы зарядов. Примером такой системы является конденсатор, где, как мы видели, оба подхода дают одинаковый результат

Очевидно, что при наличии точечных зарядов и проводников не имеет смысла рассматривать по отдельности собственную энергию проводников и взаимную потенциальную энергию всех зарядов, так как работа внешних сил определяет изменение суммы этих энергий. Исключить из рассмотрения можно только неизменную собственную энергию точечных зарядов.

Энергетические превращения в конденсаторах. Для анализа энергетических превращений, которые могут происходить в электрическом поле, рассмотрим плоский конденсатор с воздушным зазором, подсоединенный к источнику с постоянным напряжением Будем раздвигать пластины конденсатора от расстояния до расстояния в двух случаях: предварительно отсоединив конденсатор от источника питания и не отсоединяя конденсатор от источника.

В первом случае заряд на обкладках конденсатора все время остается неизменным: хотя емкость С и напряжение изменяются при движении пластин. Зная напряжение на конденсаторе в начальный момент, находим величину этого заряда (в единицах СИ):

Так как разноименно заряженные пластины конденсатора притягиваются, для их раздвижения необходимо совершить положительную механическую работу. Если при раздвижении расстояние между пластинами все время остается много меньше их линейных размеров, то сила притяжения пластин не зависит от расстояния между ними.

Для равномерного перемещения пластины внешняя сила должна уравновесить силу притяжения, и поэтому совершаемая при перемещении пластины на расстояние механическая работа равна

так как где - неизменная напряженность поля, создаваемого зарядами обеих обкладок. Подставляя в (11) заряд из (10) и находим

Второй случай отличается от рассмотренного тем, что при движении пластин остается неизменным не заряд конденсатора, а напряжение на нем: Поскольку расстояние между обкладками увеличивается, то напряженность поля убывает, а следовательно, убывает и заряд на пластинах. Поэтому сила притяжения пластин не остается постоянной, как в первом случае, а убывает, причем, как нетрудно убедиться, обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычислить работу этой переменной силы можно с помощью закона сохранения и превращения энергии.

Применим его сначала к более простому первому случаю. Изменение энергии конденсатора происходит только за счет механической работы, совершаемой внешними силами: Поскольку заряд конденсатора остается неизменным, для энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой Таким образом,

что при подстановке выражения для емкости и для заряда (10) приводит к окончательной формуле (12). Обратим внимание, что этот результат можно получить и рассматривая энергию конденсатора как энергию электрического поля между его обкладками. Так как напряженность поля и, следовательно, плотность энергии остаются неизменными, а объем, занимаемый полем, возрастает, то увеличение энергии равно произведению плотности энергии на приращение объема

и с помощью выражения (13) получаем

Отметим, что из (15) и (14) видно, что

т. е. работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора.

Интересно отметить, что как работа источника, так и изменение энергии конденсатора получились отрицательными. Это вполне понятно: совершаемая механическая работа положительна и должна была бы привести к увеличению энергии конденсатора (как и происходит в первом случае). Но энергия конденсатора убывает, и, следовательно, источник должен «принять на себя» энергию, равную убыли энергии конденсатора и механической работе внешних сил. Если процессы в источнике обратимы (аккумулятор), то он будет заряжаться, в противном случае источник просто нагревается.

Чтобы лучше разобраться в сути явлений, рассмотрим противоположный случай: присоединенные к источнику пластины конденсатора сближают от расстояния до расстояния Поскольку пластины притягиваются, работа внешних сил отрицательна, ибо для равномерного перемещения пластин внешняя сила должна быть направлена в сторону, противоположную перемещению. Энергия конденсатора при сближении пластин возрастает. Итак, механическая работа внешних сил отрицательна, а энергия конденсатора возросла, следовательно, источник совершил положительную работу. Половина этой работы равна увеличению энергии конденсатора, вторая половина передана внешним телам в виде механической работы при сближении пластин. Все приведенные выше формулы применимы, разумеется, при любом направлении перемещения пластин.

Во всех рассуждениях мы пренебрегали сопротивлением проводов, соединяющих конденсатор с источником. Если учитывать выделяющуюся в проводах при движении зарядов теплоту уравнение

баланса энергии принимает вид

Изменение энергии конденсатора и работа источника выражаются, конечно, прежними формулами (14) и (15). Теплота всегда выделяется независимо от того, сближаются или раздвигаются пластины, поэтому Значение можно вычислить, если известна скорость движения пластин. Чем больше скорость движения, тем больше выделяющаяся теплота. При бесконечно медленном движении пластин

Изменение энергии и работа источника. Выше мы отметили, что работа источника питания при раздвижении пластин равна удвоенному изменению энергии конденсатора. Этот факт носит универсальный характер: если любым способом изменить энергию подсоединенного к источнику питания конденсатора, то работа, совершаемая при этом источником питания, равна удвоенному значению изменения энергии конденсатора:

Выделившаяся теплота. Очевидно, что и равно оставшейся половине работы источника. Существуют такие процессы, в которых либо либо Но, как видно из (16) и (17), изменение энергии конденсатора, соединенного с источником, обязательно сопровождается либо совершением механической работы, либо выделением теплоты.

Получите формулу для энергии заряженного конденсатора, рассматривая работу, совершаемую при его зарядке путем переноса заряда с одной обкладки на другую.

Поясните качественно, почему объемная плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату его напряженности.

Что такое собственная энергия точечного заряда? Как в электростатике преодолевается трудность, связанная с бесконечным значением собственной энергии точечных зарядов?

Поясните, почему два первых слагаемых в правой части формулы (9) соответствуют объемной плотности собственных энергий точечных зарядов а третье слагаемое - энергии взаимодействия зарядов друг с другом.

Как связаны между собой изменение энергии конденсатора при каком-либо процессе и работа источника питания, к которому подсоединен этот конденсатор в течение всего процесса?

При каких условиях изменение энергии конденсатора, соединенного с источником питания, не сопровождается выделением теплоты?

Конденсатор с диэлектриком. Рассмотрим теперь энергетические превращения в конденсаторах при наличии диэлектрика между обкладками, считая для простоты его диэлектрическую проницаемость постоянной. Емкость конденсатора с диэлектриком в раз больше, чем емкость С такого же конденсатора без диэлектрика. Конденсатор с зарядом отсоединенный от источника питания, обладает энергией

Рис. 52. Втягивание пластины из диэлектрика в плоский конденсатор

При заполнении пространства между обкладками диэлектриком с проницаемостью энергия конденсатора уменьшится в раз: Отсюда сразу можно сделать вывод о том, что диэлектрик втягивается в электрическое поле.

Втягивающая сила при неизменном заряде конденсатора убывает по мере заполнения диэлектриком пространства между обкладками. Если на пластинах конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то сила, втягивающая диэлектрик, не зависит от длины втянутой части.

Для нахождения силы, действующей на диэлектрик со стороны электрического поля, рассмотрим втягивание твердого диэлектрика в горизонтально расположенный конденсатор, соединенный с источником постоянного напряжения (рис. 52). Пусть под действием интересующей нас втягивающей силы и какой-то внешней силы кусок диэлектрика находится в Для нахождения высоты подъема жидкого диэлектрика приравняем вычисленную втягивающую силу весу поднявшейся жидкости и получим

Для нахождения выделившейся при подъеме жидкости теплоты проще всего исходить из закона сохранения энергии. Поскольку поднятый столб жидкости покоится, совершенная источником работа равна сумме изменений энергий конденсатора и потенциальной энергии диэлектрика в поле тяжести, а также выделившейся теплоты

Учитывая, что и пользуясь соотношением (21), находим

Таким образом, работа источника питания разделилась пополам: одна половина пошла на увеличение электростатической энергии конденсатора; вторая половина разделилась поровну между увеличением потенциальной энергии диэлектрика в поле тяжести и выделившейся теплотой. Как происходило выделение этой теплоты? При погружении пластин конденсатора в диэлектрик жидкость начинает подниматься, приобретая кинетическую энергию, и по инерции проскакивает положение равновесия. Возникают колебания, которые постепенно затухают из-за вязкости жидкости, и кинетическая энергия превращается в теплоту. Если вязкость достаточно велика, то колебаний может и не быть - вся теплота выделяется при подъеме жидкости до положения равновесия.

Сформулируйте закон сохранения энергии для процесса, в котором наряду с изменением электростатической энергии изменяется еще какая-либо энергия и происходит выделение теплоты.

Поясните физический механизм возникновения сил, втягивающих диэлектрик в пространство между пластинами заряженного конденсатора.

Поставив переключатель в положение 1, зарядим конденсатор (рис.71). Теперь между его обкладками (пластинами) имеется электрическое поле. Поле - вид материи. Она обладает массой и энергией. Значит электрическое поле обладает энергией. Поставив переключатель в положение 2, подключим заряженный конденсатор к лампочке. Она ярко вспыхивает. Энергия электрического поля конденсатора превратилась во внутреннюю энергию нити лампочки и в энергию излучения.

При разряде конденсатора за счет энергии Е его электрического поля совершается работа А по перемещению электронов, образующих ток. При разряде конденсатора напряжение (разность потенциалов) между его обкладками меняется от U (которое стало на конденсаторе, после его зарядки) до нуля. Поэтому средняя величина напряжения на конденсаторе

На перемещение электронов с общим зарядом в 1 к электрическое поле затрачивает энергии При перемещении электронов с общим зарядом q кулонов оно затрачивает энергии в q раз больше. Величина работы по перемещению равна энергии, накопленной в конденсаторе, при его зарядке:

A = E = U ср q,

где q = CU.

Заменив q, получим формулу энергии электрического поля конденсатора:

Включив половину электроемкости (60 мкф) конденсатора, зарядим его, а затем разрядим на лампочку. Увеличив электроемкость в два раза, зарядим конденсатор (при прежнем напряжении) и снова разрядим его на лампочку. Замечаем, что во втором случае вспышка лампочки была ярче: с увеличением электроемкости конденсатора увеличилась энергия его поля. Не меняя электроемкости конденсатора, зарядим его от напряжения 40 в и разрядим на лампочку, а затем то же самое сделаем при напряжении 80 в. Видим, что чем больше напряжение между пластинами конденсатора, тем больше энергия его электрического поля, о чем свидетельствует различная яркость вспышки лампы.

Энергия электрического поля конденсатора используется, например для получения электрических колебаний в радиоприемниках, радиопередатчиках, телевизорах, для получения кратковременного тока в фотовспышках, радиолокаторах, для получения высоких температур, при исследовании термоядерных реакций.

Задача 22. Импульсная сварка осуществляется с помощью разряда конденсатора электроемкостью 2000 мкф при напряжении на его обкладках 1000 в . Определить полезную мощность импульса, если продолжительность разряда 4 мксек, а к. п. д. установки 5%.

Полезная мощность установки Из формулы полезно израсходованная энергия E п = ηE. Здесь Е - энергия электрического поля конденсатора, Тогда

Следовательно,

Вычислим:

Отв.: N п = 12500 квт.

Электрическое поле и конденсатор

Если к двум отдельным проводам приложить напряжение, то в пределах пространства между ними возникнет электрическое поле. До этого момента мы с вами изучали взаимодействие тока, напряжения и сопротивления в пределах электрических цепей, которые служат проводящими путями для потока электронов. Теперь, когда мы говорим о полях, мы имеем дело с взаимодействиями, происходящими в пространстве.

Понятие "поле" несколько абстрактно. Если электрический ток представить себе не так уж сложно (крошечные частицы, называемые электронами, передвигаются между ядрами атомов внутри проводника), то с полем дела обстоят совершенно иначе.

Несмотря на абстрактный характер полей, каждый из вас не раз с ними сталкивался, по крайней мере в виде магнитов. Если вы когда-нибудь играли с парой магнитов, то не могли не заметить, что они притягиваются или отталкиваются друг от друга в зависимости от относительной ориентации. Между двумя магнитами существует неоспоримая сила, и сила эта нематериальна. Она не имеет ни массы, ни цвета, ни запаха, и проявляется только на самих магнитах, совершенно не действуя на человеческое тело. Физики описывают взаимодействие магнитов с точки зрения магнитных полей в пространстве между ними. Если возле магнита рассыпать металлические опилки, то они сориентируются вдоль линий поля, визуально указывая на его присутствие.

Темой данного раздела являются электрические поля (у которых много общего с магнитными), и устройства которые их используют - конденсаторы. С электрическими полями вы скорее всего тоже сталкивались. Вспомните самое начало нашего обучения, в котором мы рассматривали статическое электричество . Если воск и шерсть потереть дуг о друга, то между ними возникнет физическая сила притяжения. Физики описали бы такое взаимодействие с точки зрения электрических полей, создаваемых двумя объектами в результате дисбаланса электронов. Сейчас достаточно будет сказать, что при наличии напряжения между двумя точками, в пространстве между ними всегда проявится электрическое поле.

Электрическое поле обладает запасом электрической энергии, которая проявляется в виде электрических сил, действующих на находящиеся в поле заряженные тела. По значению силы, с которой притягивается или отталкивается некоторый электрический заряд, принятый за единицу, можно судить об интенсивности электрического поля. Сила и интенсивность поля примерно аналогичны напряжению (сила) и току (интенсивность) в электрической цепи. Однако, поле может существовать в совершенно пустом пространстве, в то время как ток существует только там, где есть свободные электроны. Характер среды пространства (тип изоляционного материала, расположенный между двумя проводниками) может оказывать сопротивление интенсивности поля точно так же, как материал проводника оказывает сопротивление электрическому току. Интенсивность, с которой поле распространяется в пространстве, пропорциональна его силе поделенной на сопротивление среды.

Обычно электроны не могут войти в провод, если не существует пути для выхода равного количества электронов. Вот почему, для создания потока электронов, провода объединяются в замкнутую электрическую цепь. Однако, существует возможность "втиснуть" дополнительные электроны в незамкнутый провод. Для этого рядом с ним нужно разместить еще один провод, что приведет к возникновению электрического поля. Количество дополнительных свободных электронов, вошедших в незамкнутый провод, будет прямо пропорционально напряженности данного поля.

Сущность этого явления используется в устройствах, называемых конденсаторами. Конденсаторы состоят из двух проводящих пластин (обычно металлических), расположенных в непосредственной близости дуг от друга. Существует большое количество разновидностей конденсаторов, предназначенных для выполнения различных задач. Для конденсаторов маленькой емкости достаточно двух круглых пластин, между которыми расположен диэлектрический материал. Для конденсаторов большой емкости "пластины" изготавливаются из свернутых полосок металлической фольги, между которыми проложен гибкий изолирующий материал. Наиболее высокие значения емкости получаются при использовании микроскопического слоя изолирующего оксида, разделяющего две проводящие поверхности. Несмотря на различия в конструктивном исполнении конденсаторов, в них заложена общая идея: два проводника разделены диэлектриком.

Условное обозначение конденсатора выглядит следующим образом:

При подаче напряжения на пластины конденсатора, между ними возникает электрическое поле, которое способствует образованию значительной разницы в количестве свободных электронов на каждой из пластин. Если говорить проще, то принцип действия конденсаторов основан на способности накапливать на обкладках электрические заряды при приложении между ними напряжения:

Поскольку электрическое поле создается приложенным напряжением, свободные электроны "забираются" у положительной пластины конденсатора и скапливаются на отрицательной. Эта разница зарядов приравнивается к хранению энергии в конденсаторе. Чем больше разница электронов на противоположных пластинах, тем больше интенсивность (напряженность) поля, и тем больший "заряд" энергии будет хранить конденсатор.

Поскольку конденсаторы хранят потенциальную энергию накопленных электронов в виде электрического поля, в цепи они ведут себя несколько иначе, чем резисторы (которые просто рассеивают энергию в виде тепла). Аккумулирование энергии в конденсаторе является функцией напряжения между его пластинами, а так же других факторов, которые мы рассмотрим позже. Способность конденсатора сохранять энергию в зависимости от приложенного напряжения приводит к тому, что он стремится поддерживать напряжение на постоянном уровне. Иными словами, конденсатор сопротивляется изменениям напряжения. Когда напряжение на конденсаторе увеличивается или уменьшается , он «сопротивляется» этим изменениям , забирая или отдавая ток источнику изменения напряжения .

Для сохранения в конденсаторе большей энергии, напряжение на его пластинах должно быть увеличено. Это приведет к тому, что больше электронов будет отнято от положительной (+) пластины и добавлено к отрицательной (-). Ток при этом должен течь от (-) к (+). И наоборот, для высвобождения энергии из конденсатора, напряжение на нем должно быть уменьшено. Это приведет к тому, что некоторые из избыточных электронов будут возвращены от отрицательной (-) пластины к положительной (+). Направление тока при этом изменится на противоположное.

Вспомните Первый закон Ньютона, который гласит что всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние. С конденсаторами ситуация примерно аналогичная: "Заряженный конденсатор стремится оставаться заряженным, а разряженный имеет тенденцию оставаться разряженным". Гипотетически, при отсутствии внешнего воздействия заряженный конденсатор будет бесконечно долго сохранять накопленный заряд, который сможет изменить только внешний источник тока:

На практике же, благодаря внутренним путям утечки электронов из одной пластины в другую, конденсаторы со временем теряют сохраненный заряд. Это время зависит от конкретного типа конденсатора и может составлять несколько лет.

Когда напряжение на конденсаторе увеличивается, он начинает забирать ток у схемы, действуя в качестве нагрузки. В этом случае можно сказать что конденсатор "заряжается", поскольку большее количество энергии сохраняется в его электрическом поле. Обратите внимание на направление тока с учетом полярности напряжения:

И наоборот, когда напряжение на конденсаторе уменьшается, он отдает ток остальной части схемы, действуя в качестве источника питания. В этом случае можно сказать что конденсатор "разряжается". Его запас энергии, сохраненный в электрическом поле, уменьшается, а энергия отдается в схему:

Если к незаряженному конденсатору подключить источник питания (внезапное увеличение напряжения), то он будет потреблять ток из этого источника до тех пор, пока их напряжения не сравняются. Как только напряжение конденсатора сравнивается с напряжением источника питания, его ток становится равным нулю. И наоборот, если нагрузочное сопротивление подключить к заряженному конденсатору, то он будет поставлять ток этой нагрузке до тех пор, пока не истратит всю запасенную энергию, и его напряжение не упадет до нуля. Как только напряжение конденсатора достигает нулевого значения, ток через него прекращается. Благодаря своей способности заряжаться и разряжаться, конденсаторы можно рассматривать как вторичные источники питания.

Тип изоляционного материала между пластинами конденсатора, как уже отмечалось ранее, оказывает большое влияние на величину накапливаемого заряда при любом приложенном напряжении. Не все изоляционные (диэлектрические) материалы одинаковы. Величина, характеризующая реакцию диэлектрического материала на электрическое поле, называется диэлектрической проницаемостью.

Основной характеристикой конденсатора является его электрическая емкость. Емкость конденсатора характеризует количество электрической энергии, которую он способен запасти. Иными словами, чем больше электронов способен уместить в себе конденсатор, тем больше его емкость, и наоборот. В математических уравнениях емкость обозначается заглавной буквой "C" и измеряется в Фарадах (сокращенно - "ф").